Revisiting the Logistic Growth with Random Disturbances

Modele populacyjne oparte o równanie logistyczne wziaz sa popularne w modelowaniu ekosytemów i pozwalaja lepiej zrozumiec rózne zjawiska. W tym artykule rozwazamy prosty 1-wymiarowy model sawanny zaproponowany przez D’Odorico, Laio i Ridolfi’ego w pracy [5], który jest modelem współistnienia traw i drzew na sawannach indukowanego losowymi pozarami. Jednak zamiast wprowadzac ubytki biomasy spowodowane wystepowaniem pozarów bezposrednio do równan modelu, definiujemy odpowiedni proces stochastyczny. Nastepnie badamy go z wykorzystaniem teorii półgrup stochastycznych. Zasadniczym wynikiem jest twierdzenie 3.1 okreslajace, kiedy przedstawiony model moze opisywac stabilne współistnienie traw i drzew charakterystyczne dla sawann. Mianowicie przy spełnionym warunku (7) istnieje jedyny absolutnie ciagły rozkład stacjonarny biomasy drzew, do którego cały układ bedzie dazył, natomiast w sytuacji (8) taki rozkład nie istnieje. Powyzszy wynik mozna łatwo przeniesc na wyzsze wymiary i zastosowac np. w dwuwymiarowym modelu podanym w poprzedniej pracy (na ten temat) autora i Marty Tyran-Kaminskiej [7].

The logistic growth population model still can help explain ecological phenomena. We consider a simple 1-dimensional model of savanna introduced by D’Odorico, Laio, and Ridolfi [A probabilistic analysis of fire-induced tree-grass coexistence in savannas. The American Naturalist 167, 2006] which is in fact a model of tree-grass coexistence driven by stochastic fire. We provide an appropriate stochastic process for this model and study it using the stochastic semigroup theory. Finally, we give the condition inducing the existence of a unique stationary distribution of woody biomass.