Distribution Laws in Weak Positional Logics

A formal language is positional if it involves a positional connecitve, i.e. a connective of realization to relate formulas to points of a kind, like points of realization or points of relativization. The connective in focus in this paper is the connective R, first introduced by Jerzy Łoś. Formulas RtA involve a singular name t and a formula A to the effect that RtA is satisfied (true) relative to the position designated by t. In weak positional calculi no nested occurences of the connective are allowed. The distribution problem in weak positional logics is actually the problem of distributivity of the connective R over classical connectives, viz. the problem of relation between the occurences of classical connectives inside and outside the scope of the positional connective R.

Logiki pozycyjne zawierają spójnik realizacji, który odnosi wyrażenie do pozycji ustalonego rodzaju, np. pozycji w czasie, przestrzeni, osób. W szczególności wyrażenie RtA należy odczytywać: w punkcie t jest tak, że A lub w podobny sposób. Najsłabszą logiką pozycyjną, w której spójnik R jest dystrybutywny względem wszystkich spójników klasycznego rachunku zdań, a w konsekwencji spójniki są booleowskie w każdym kontekście, jest system MR. Rozważane w tej pracy słabe logiki pozycyjne są systemami pośrednimi między klasycznym rachunkiem zdań a systemem MR. Niektóre, ale niekoniecznie wszystkie, spójniki w tych systemach mogą być booleowskie. Przedstawiam tutaj prosty algorytm budowy dowolnego adekwatnego systemu z rozważanego przedziału, wyznaczonego przez wybrane prawa dystrybucyjne. Przedstawiony tutaj algorytm łatwo rozszerza się na inne zestawy spójników.