Incomplete moments of the inverse Pólya distribution

Praca poświecona jest momentom czynnikowym (faktorialnym) niekompletnym dla rozkładu Pólyi zwanego odwrotnym, tzn. dla rozkładu, który przy założonym wyżej schemacie ustala prawdopodobieństwo liczby losowań potrzebnych do uzyskania żądanej ilości elementów określonego rodzaju. Zwrócono uwagę na możliwość operowania i takim rozkładem Pólyi odwrotnym, którego funkcja prawdopodobieństwa nie musi być związana z określonym schematem losowania i dla takiego (teoretycznego) przypadku wzory na momenty również uwzględniono. Ponieważ szczególnymi przypadkami rozważanego rozkładu są: ujemny rozkład dwumianowy oraz odwrotny rozkład hipergeometryczny, podano w pracy odpowiednie wzory i dla tych rozkładów.

The authors continue the study of incomplete moments of discrete distributions by Gerstenkorn [Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 26 (1981), no. 3, 405–416; MR0627288; Bull. Inst. Internat. Statist. 46 (1975), no. 3, 290–297; MR0471020]. For a discrete nonnegative random variable X, the left incomplete factorial moment of order l truncated at s is defined by ∑sx=0x(x−1)⋯(x−(l−1))P(X=x). The authors evaluate the left incomplete factorial moments of the inverse Polya distribution (Theorem 1). From this result they derive the complete factorial moments and recurrence relations between incomplete and complete factorial moments as well as between incomplete factorial moments of different orders. These results are demonstrated for special inverse Polya distributions: the inverse Polya distribution connected with Polya trials, the negative binomial distribution, the inverse hypergeometric distribution, and the geometric distribution. MR0707818