Equivalent definitions for the measurability of a multivariate function and Filippovs lemma

W wielu pracach, w których pojawia się pojęcie mierzalności funkcji wielowartościowej, autorzy zazwyczaj formułują jedną definicję mierzalności i nie podkreślają związków z innymi definicjami, chociaż istnieje ich wiele. Zakładając, że przestrzeń, w której leżą wartości funkcji wielowartościowej, przyjmującej tylko zbiory domknięte, jest metryczna i zwarta, udowodnimy, że wszystkie bardziej znane definicje mierzaluości funkcji wielowartościowej są równoważne.

From the text: "In the many papers in which the concept of measurability of a multivariate function arises, the authors usually formulate one definition of measurability and ignore its connections with other definitions. Assuming that the space, in which the values of the multivariate function lie, which admits only a closed set, is metric and compact we prove that all well-known definitions of measurability of multivariate functions are equivalent. "A. F. Filippov's lemma was first formulated in 1959 [Vestnik Moskov. Univ. Ser. Mat. Meh. Astr. Fiz. Him. 1959, no. 2, 25–32; MR0122650] and was later generalized by many others, in particular by W. Furakawa [Ann. Math. Statist. 43 (1972), 1612–1622; MR0371418], C. J. Himmelberg [Fund. Math. 87 (1975), 53–72; MR0367142] and C. Olech [Bull. Acad. Polon Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 13 (1965), 317–321; MR0199338]. Using various definitions of measurability of a multivariate function (whose equivalence we prove beforehand) we introduce two theorems on the existence of a measurable implicit function. These theorems generalize Furakawa's theorem [op. cit.] which is a reformulation of Olech's theorem [op. cit.] for Borel measurability.''