Chi-square type goodness of fit tests for composite hypothesis

Przeniesienie klasycznego testu zgodności chi-kwadrat na przypadek hipotezy złożonej rodzi szereg problemów związanych z estymacją nieznanych parametrów. Jeden ze sposobów ich wyeliminowania zaproponowali Dzhaparidze i Nikulin. Ważną zaletą ich pomysłu jest możliwość użycia dość dowolnych estymatorów. Celem tego artykułu jest popularyzacja wspomnianego rozwiązania i przedstawienie pełnego, a równocześnie elementarnego dowodu o rozkładzie asymptotycznym statystyki testowej. Dodatkowo w pracy zostanie pokazane, że prezentowany test jest elementem ogólnej klasy testów wynikowych, co przemawia za jego dobrymi własnościami. Ponadto zostanie przedstawiony przykład implementacji testu dla testowania zgodności w rodzinie z parametrami przesunięcia i skali.

Adapting the classical Pearson’s chi-square goodness-of-fit test for testing composite hypotheses brings serious problems with estimation of unknown parameters. An interesting solution which eliminates them was proposed by Dzhaparidze and Nikulin. The most important advantage of their solution is a possibility of using arbitrary estimators satisfying only a natural and weak condition. The aim of the present article is to popularize this solution. We provide a complete, short and, what is more elementary proof of the main theorem on asymptotic distribution of the test statistic. In addition, we prove that the constructed test belongs to a general class of score tests what advocates for its good properties. Finally, as an example, we give a typical implementation of the test to testing in location and scale family.