On spaces of double sequences generated by moduli of smoothness

For a given \( \phi \)-function \( \phi \) and an element \( x \) from the space \( X \) of all real double sequences. We first introduce a sequential \( \phi \)-modulus \( \omega_\phi \). Next, for a given function \( \Psi \), we define the spaces \( X ( \Psi ) \) and \( X_\rho \) generated by \( \omega_\phi \). The purpose of this paper is to investigate properties of the spaces \( X(\Psi) \) and \( X_\rho \).

Dla danej \( \phi \)-funkcji \( \phi \) oraz elementu \( x = ((x)_{\mu, \nu} ) \) z przestrzeni \( X \) ciągów rzeczywistych podwójnych, najpierw wprowadzony został ciągowy \( \phi \)-moduł \( \omega_\phi \) wzorem $$ \omega_\phi ( x; r, s ) = \sup_{ m \ge r } \sup_{n \ge s } \sum_{ \mu, \nu = 0 }^\infty \phi ( | ( \tau_{00}x)_{\mu\nu} - ( \tau_{m0}x)_{\mu\nu} - ( \tau_{0n}x)_{\mu\nu} + (\tau_{mn} x)_{\mu\nu} | ) $$ gdzie \( \tau_{\mu\nu} \) oznacza \( ( m, n) \)-translację ciągu \( x \in X \). W dalszym ciągu dla danej funkcji \( \Psi \) zdefiniowane zostały przestrzenie $$ X ( \Psi ) = \{ x \in X : a_{r,s} \Psi (\omega_\phi ( x; r, s)) \rightarrow 0 \text{ dla } \lambda > 0 \text{ oraz } ( r, s \rightarrow \infty \} , $$ $$ X_\rho = \{ x \in X : \rho ( \lambda x ) = \sup_{r, s} a_{r, s } \Psi ( \omega_\phi (x ; r, s ) ) \rightarrow 0 \text{ gdy } \lambda \rightarrow 0^{+} \}, $$