Security of the quantum direct communication based on pairs of completely entangled qudits

Quantum secure direct communication protocols offer confidential transmission of classic information over the quantum channel without a prior key agreement. The ping-pong based protocols provide asymptotic security and detailed analysis of the security level provided by each variant of the protocol is required. The paper presents a general method of calculation of the eavesdropped information as a function of the attack detection probability. The method is applied to the ping-pong protocol based on completely entangled pairs of qudits. The lower and upper bound on the amount of the leaked information is provided.

Kryptografia kwantowa jest jednym z najintensywniej rozwijanych praktycznych zastosowań kwantowego przetwarzania informacji. Pierwsze zaproponowane protokoły kryptograficzne dotyczyły problemu uzgodnienia klucza za pomocą otwartego łącza telekomunikacyjnego [1, 2]. Niestety protokoły te okazały się mało wydajne i nie umożliwiają przesyłania klasycznej informacji za pomocą kanału kwantowego. Problem ten rozwiązują protokoły bezpośredniej deterministycznej komunikacji kwantowej (QSDC). Pierwszy protokół tego typu wykorzystujący pojedyncze fotony został zaproponowany przez Beige et. al. [7]. Nieco później Boström et. al. [8] zaproponował protokół ping-pong wykorzystujący pary EPR. Protokół ten stał się pierwowzorem dla wielu protokołów pracujących według tego samego paradygmatu. Odbiorca posiada stan splątany, którego część przekazuje nadawcy. Nadawca wykonując operacje kwantowe na cząstce sygnałowej w takt kodowanej informacji zmienia stan całego stanu splątanego. Nadawca następnie odsyła cząstkę sygnałową do odbiorcy, a ten wykonuje kolektywny pomiar na stanie splątanym dekodując tym samym nadaną informację [9, 10, 11, 12, 13]. Protokoły QSDC oferują bezpieczeństwo asymptotyczne, w tym sensie, że istnieje niezerowe prawdopodobieństwo nie wykrycia napastnika mimo iż uzyska on dostęp do części przesyłanej informacji. Dlatego też istotne jest systematyczne przebadanie właściwości protokołów QSDC w tym zakresie. Jak dotąd do badania protokołów stosowano metody wykorzystujące ich szczególne właściwości i dopiero w pracach [18, 19] dokonano tego w sposób systematyczny dla par qutritów oraz stanów GHZ. Mimo, że wersja protokołu ping-pong dla par maksymalnie splątanych quditów jest stosunkowo stara [21] to nie doczekała się systematycznej analizy pod kątem poziomu zapewnianej ochrony. W niniejszym artykule zaproponowano uogólnienie podejścia zaproponowanego w [8, 19] i zastosowano je do wspomnianego wyżej wariantu protokołu. Wpracy przedstawiono wyniki obliczeń numerycznych oraz zaproponowano wyrażenia na kres dolny i górny informacji uzyskanej przez napastnika, przy czym wartości kresów zależne są od prawdopodobieństwa wykrycia podsłuchu. Z przedstawionych rezultatów wynika, że napastnik może uzyskać dostęp do log2N bitów informacji, co stanowi połowę pojemości kanału, a w szczególnym przypadku może przejąć całość transmisji, jednak wiedza ta okupiona jest stosunkowo dużym prawdpodobieństwem wykrycia jego obecności (p = (N - 1)/N). W świetle zaprezentowanych wyników odmiany protokołu ping-pong wykorzystujące supergęste kodowanie i wykrywanie podsłuchu tylko w bazie pomiarowej należy uznać za mało bezpieczne. Zaproponowana metoda analizy może być również zastosowana, praktycznie bez żadnych modyfikacji, do badania protokołów wykorzystujących stany splątane GHZ.