A dynamic coloring of the vertices of a graph $G$ starts with an initial subset $S$ of colored vertices, with all remaining vertices being non-colored. At each discrete time interval, a colored vertex with exactly one non-colored neighbor forces this non-colored neighbor to be colored. The initial set $S$ is called a forcing set of $G$ if, by iteratively applying the forcing process, every vertex in $G$ becomes colored. If the initial set $S$ has the added property that it induces a subgraph of $G$ without isolated vertices, then $S$ is called a total forcing set in $G$. The minimum cardinality of a total forcing set in $G$ is its total forcing number, denoted $F_t(G)$. We prove that if $T$ is a tree of order $n ≥ 3$ with maximum degree $Δ$ and with $n_1$ leaves, then $n_1≤F_t(T)≤1/Δ((Δ-1)n+1)$. In both lower and upper bounds, we characterize the infinite family of trees achieving equality. Further we show that $F_t(T) ≥ F (T) + 1$, and we characterize the extremal trees for which equality holds.
Ta witryna wykorzystuje pliki cookies do przechowywania informacji na Twoim komputerze. Pliki cookies stosujemy w celu świadczenia usług na najwyższym poziomie, w tym w sposób dostosowany do indywidualnych potrzeb. Korzystanie z witryny bez zmiany ustawień dotyczących cookies oznacza, że będą one zamieszczane w Twoim komputerze. W każdym momencie możesz dokonać zmiany ustawień dotyczących cookies
Informacja
SZANOWNI CZYTELNICY!
UPRZEJMIE INFORMUJEMY, ŻE BIBLIOTEKA FUNKCJONUJE W NASTĘPUJĄCYCH GODZINACH:
Wypożyczalnia i Czytelnia Główna: poniedziałek – piątek od 9.00 do 19.00