Central Limit Theorem for Conditional Mode in the Single Functional Index Model with Data Missing at Random

This paper concentrates on nonparametrically estimating the conditional density function and conditional mode within the single functional index model for independent data, particularly when the variable of interest is affected by randomly missing data. This involves a semi-parametric single model structure and a censoring process on the variables. The estimator's consistency (with rates) in a variety of situations, such as the framework of the single functional index model (SFIM) under the assumption of independent and identically distributed (i.i.d) data with randomly missing entries, as well as its performance under the assumption that the covariate is functional, are the main areas of focus. For this model, the nearly almost complete uniform convergence and rate of convergence established. The rates of convergence highlight the critical part that the probability of concentration play in the law of the explanatory functional variable. Additionally, we establish the asymptotic normality of the derived estimators proposed under specific mild conditions, relying on standard assumptions in Functional Data Analysis (FDA) for the proofs. Finally, we explore the practical application of our findings in constructing confidence intervals for our estimators. The rates of convergence highlight the critical part that the probability of concentration play in the law of the explanatory functional variable.

W artykule skoncentrowano się na nieparametrycznym estymowaniu warunkowej funkcji gęstości i warunkowej dominanty w modelu pojedynczego wskaźnika funkcjonalnego dla niezależnych danych, szczególnie gdy na interesującą zmienną wpływają losowo brakujące dane. Obejmuje to strukturę półparametrycznego pojedynczego modelu i proces cenzurowania zmiennych. Zgodność estymatora (ze współczynnikami) w różnych sytuacjach, np. w ramach modelu pojedynczego wskaźnika funkcjonalnego przy założeniu niezależnych i z identycznym rozkładem danych z losowymi brakami, a także jego działanie w warunkach, gdy zmienna towarzysząca jest funkcjonałem, to główne obszary zainteresowania. Dla tego modelu wyznacza się prawie całkowicie jednolitą zbieżność i wskaźnik zbieżności. Wskaźniki zbieżności podkreślają kluczową rolę, jaką prawdopodobieństwo koncentracji odgrywa w założeniach dotyczących objaśniającej zmiennej funkcjonalnej. Dodatkowo ustala się asymptotyczną normalność wyprowadzonych estymatorów zaproponowanych w określonych łagodnych warunkach, opierając się na standardowych założeniach z analizy danych funkcjonalnych dla dowodów. Na koniec zbadano praktyczne zastosowanie ustaleń w konstruowaniu przedziałów ufności dla naszych estymatorów. Wskaźniki zbieżności podkreślają kluczową rolę, jaką prawdopodobieństwo koncentracji odgrywa w założeniach dotyczących objaśniającej zmiennej funkcjonalnej.