Modal analysis of multi-degree-of-freedom systems with repeated frequencies - analytical approach

The paper deals with the modal analysis of mechanical systems consisting of n identical masses connected with springs in such a way that the stiffness matrix has the form of a multiband symmetric matrix. The eigenvalue problem formulated for such systems is characterised by repeated eigenvalues to which linearly independent eigenvectors correspond. The solution to the eigenvalue problem has been found for an arbitrary, finite number of degrees of freedom for the fully coupled systems and the systems in which the masses are exclusively connected with the nearest neighbours. Depending on the property of the eigenvectors, two forms of the solution to the initial value problem have been derived. The general deliberations are illustrated with an example of the system with 10 degrees of freedom for 5 different degrees of coupling.

Praca dotyczy analizy modalnej układów mechanicznych, zbudowanych z n identycznych mas połączonych sprężynami w taki sposób, by macierz sztywności miała budowę wielopasmowej macierzy symetrycznej. Zagadnienie własne sformułowane dla tych układów charakteryzuje się wielokrotnymi wartościami własnymi, którym odpowiadają układy liniowo niezależnych wektorów własnych. W pracy podano analityczne rozwiązanie zagadnienia własnego dla dowolnej, skończonej liczby stopni swobody, dla układu w pełni sprzężonego i układu, w którym każda masa połączona jest wyłącznie z dwiema sąsiednimi. W zależności od własności wektorów własnych podano dwie postacie rozwiązania zagadnienia początkowego. Rozważania teoretyczne zilustrowano przykładem układu o 10 stopniach swobody, dla 5 różnych stopni sprzężenia.