The range of the fourth order moment when the values of the first two moments are known

The easy and possibly effortless detection of departures of probability distributions from the normality would be very useful in measurements practice. For this, except for lower order moments, the fourth order moment may also be fruitful. Here, the limits of this moment were found under the assumption that the distribution has finite support and the values of the first two moments are already known. On this basis, the range of the fourth moment was evaluated for all possible values of the mean and mean-square values. Then, an uncertainty reduction coefficient was defined and calculated, that describes how many times the range of the fourth moment is reduced when the values of the first two moments are provided. It was found that for symmetric distributions this uncertainty is reduced at least fourfold for bipolar variables, and 64-fold for the unipolar variables.

W metrologii często występuje potrzeba szybkiej, i możliwie nie wymagającej dodatkowych analiz, oceny czy rozkład prawdopodobieństwa wyniku pomiaru jest choćby w przybliżeniu podobny do normalnego. W przypadku znacznych odchyleń funkcji gęstości od krzywej normalnej oszacowanie przedziału niepewności wyniku wymaga pełnego zbadania funkcji gęstości, np. metodą Monte Carlo. Najprostszą metodą wykrywania takich odchyleń od normalności jest detekcja asymetrii funkcji gęstości, do czego zwykle wykorzystuje się unormowany trzeci moment centralny. Gdy jednak spodziewany kształt funkcji gęstości jest symetryczny, trzeba wykorzystywać momenty czwartego rzędu. W pracy omówiono możliwość wnioskowania o wartości momentu zwykłego czwartego rzędu 4 m na podstawie wartości średniej 1 m i średniokwadratowej 2 m w przypadku rozkładów prawdopodobieństwa o ograniczonym nośniku. Określono wartości m4 min i m4 max dla czterech przypadków wiedzy apriorycznej: gdy znana jest wyłącznie wartość jednego z momentów: 1 m albo 2 m , gdy znane są obie te wartości jednocześnie, oraz przypadek gdy oprócz tego wiadomo, że rozkład ma symetryczną funkcję gęstości. Dla tego ostatniego przypadku zaprezentowano zależność niepewności 4 Dm od wartości znanych momentów 1 m i 2 m . Podano przykład wykorzystania wartości granicznych m4 min i m4 max momentu czwartego rzędu. Zbadano także zależność stopnia redukcji niepewności 4 Dm uzyskiwanej dzięki znajomości momentów 1 m albo/i 2 m w najmniej korzystnych warunkach. Stwierdzono, że redukcja niepewności zależy wtedy od ilorazu wartości granicznych nośnika funkcji gęstości. W przypadku, gdy funkcja gęstości jest symetryczna i znane są oba pierwsze momenty rozkładu, wówczas 4 Dm jest co najmniej czterokrotnie mniejsze niż wtedy, gdy znamy tylko granice nośnika funkcji gęstości, a dla zmiennych losowych przyjmujących wyłącznie wartości jednego znaku, jest nawet 64-krotnie mniejsze.