Dynamical stability problem of a spherical shell under circumferential uniformly distributed surface load

A thin-walled spherical shell, simply supported at one edge and closed by rigid diaphragm at the second edge, is subjected to acting of uniformly distributed surface load along parallel direction. The loading value increases linearly with time. The problem of dynamic stability of the shell is investigated. The set of equations describing the problem consists of nonlinear dynamic equilibrium equation and of nonlinear strain inseparability equation. Both the equations are solved by Bubnov-Galerkin method, assuming previously forms of deflection function and force function which fulfils the boundary conditions. The result of inseparability equation solving is delimitation of unknown coefficient of the force function. The solution of the equilibrium equation leads to the differential equation of the shell motion. This equation defines the relation between dimensionless amplitude of the deflection function and the load parameter. Coefficients of the equation have very complicated and extended form. The equation is finally solved by numerical Runge-Kutta method with previous calculation of the coefficient values and assuming the starting conditions of the problem. The results of the final solution are presented in the form of graphs: dimensionless amplitude vs. dimensionless time. They make the base to specify the critical load value taking into account required stability criterion.

Cienkościenna powłoka kulista jest podparta przegubowo na jednym brzegu, a na drugim zamkniętą przeponą sztywną w swojej płaszczyźnie. Powłoka jest obciążona równomiernie rozłożoną siłą powierzchniową o kierunku równoleżnikowym, przy czym obciążenie to rośnie liniowo w czasie. Rozpatruje się zagadnienie stateczności dynamicznej powłoki. Układ równań zagadnienia tworzą nieliniowe równanie równowagi dynamicznej oraz nieliniowe równanie nierozdzielności. Oba równania rozwiązuje się metodą Bubnowa-Galerkina, przyjmując uprzednio postać funkcji ugięcia i funkcji sił, spełniające warunki brzegowe. Efektem rozwiązania równania nierozdzielności jest wyznaczenie nieznanego współczynnika tej funkcji. Rozwiązanie równania równowagi dynamicznej prowadzi do równania różniczkowego ruchu powłoki, mającego postać związku między bezwymiarową amplitudą funkcji ugięcia a parametrem obciążenia; współczynniki równania mają bardzo złożoną i rozbudowaną postać. Równanie to rozwiązuje się metodą Runge-Kutta, po uprzednim wyznaczeniu wartości jego współczynników i przyjęciu warunków początkowych zagadnienia. Wyniki rozwiązania mają postać wykresów we współrzędnych bezwymiarowa amplituda - bezwymiarowy czas. Na ich podstawie określa się - oparte o przyjęte kryterium utraty stateczności - obciążenie krytyczne.