The inf-sup condition tests for shell/plate finite elements

Development of high-performance finite elements for thick, moderately thick, as well as thin shells and plates, was one of the active areas of the finite element technology for 40 years, followed by hundreds of publications. A variety of shell elements exist in the FE codes, but "the best" finite element is still to be discovered. The paper deals with an evaluation of some existing shell finite elements, from the point of view of the third of three requirements to be satisfied by the element: ellipticity, consistency and inf-sup condition. It is difficult to prove the inf-sup condition analytically, so, a numerical verification is proposed. A set of numerical tests is considered for shell and plate problems. Two norm matrices and a selection of the stiffness matrices (bending, shear and membrane dominated) are analysed. Finite elements from various computer systems can be evaluated and compared with the use of the proposed tests.

Elementy skończone płyt i powłok powinny spełniać trzy warunki poprawności sformułowania: warunek eliptyczności, warunek zgodności i warunek inf-sup. Najtrudniejszy do sprawdzenia jest warunek inf-sup. W pracy rozwinięto i zweryfikowano koncepcje numerycznej weryfikacji tego warunku, zaproponowanej w pracach Bathego i współpracowników. Przedstawiono i zweryfikowano szereg testów płyt o różnych warunkach brzegowych, oraz powłok o różnych krzywiznach Gaussa, w kształcie sfery, walce, paraboloidy hiperbolicznej, stożka i konoidy. Najbardziej wymagającym testem okazała się wspornikowa paraboloida hiperboliczna. Zaproponowano i przeanalizowano dwie macierze normowe, bazujące na normie przemieszczeń w sensie L2 i semi-normie H1. Wykazano, ze macierz zbudowana na bazie normy L2 jest wystarczająca do badania warunku inf-sup. Macierz ta jest równoważna macierzy mas elementu skończonego, przy jednostkowej gęstości materiału, co oznacza ułatwione badania elementów skończonych w programach komercyjnych. Przedstawiono także stosowność wykorzystania pełnej macierzy sztywności, oraz macierzy ograniczonych do opisu stanu poprzecznego ścinania lub stanu membranowego. Zweryfikowano poprawność klasycznych prostokątnych elementów płytowych o liniowych funkcjach kształtu i całkowaniu pełnym lub zredukowanym, oraz elementów powłokowych S4, S4R and S4R5 systemu ABAQUS/Standard.