Whirling of asymmetric shaft under constant continuous load

The paper deals with parametric vibrations of asymmetric shaft subjected to continuous lateral load. As an example of asymmetry, a uniform shaft of rectangular cross section is chosen. During rotation of such a shaft its bending stiffness with respect to a fixed coordinate system varies with time. In order to avoid calculation of flexural vibrations by means of differential equations with time-dependent coefficients, the motion of the shaft is determined in the co-rotating coordinate system from differential equations of constant coefficients and then the solution is transformed to the fixed coordinate system with the aid of simple kinematic relationships. It is assumed that the angular velocity of the shaft is constant and that the damping forces can be neglected. It is shown that the geometric centers of the cross sections of the shaft perform circular motions in the planes perpendicular to the line of centers of the bearings so that the shaft axis is whirling with the frequency twice as high as the angular velocity of the shaft.

Praca dotyczy parametrycznych drgań asymetrycznego wału przy ciągłym obciążeniu poprzecznym. Jako przykład asymetrii przyjęto pryzmatyczny wał o przekroju prostokątnym. W czasie ruchu obrotowego takiego wału jego sztywność giętna względem nieruchomego układu współrzędnych zmienia się w czasie. Dla uniknięcia obliczeń drgań giętych na podstawie równań różniczkowych o współczynnikach zależnych od czasu, ruch wału wyznaczono najpierw w wirującym wraz z wałem układzie współrzędnych wykorzystując równania różniczkowe o stałych współczynnikach, a następnie rozwiązanie to przetransformowano do nieruchomego układu współrzędnych za pomocą prostych kinematycznych zależności. Założono, że prędkość kątowa wału jest stała oraz, że tłumienie w układzie może być pominięte. Wykazano, że geometryczne środki przekrojów poprzecznych wału poruszają się po okręgach w płaszczyznach prostopadłych do osi łożysk tak, że oś wału wykonuje drgania kołowe o częstości dwukrotnie wyższej od prędkości kątowej wału.