Wybrane problemy numerycznych obliczeń całek różniczkowych rzędów ułamkowych

Niniejszy artykuł prezentuje metody numerycznego obliczania pochodnych i całek niecałkowitych rzędów. Staramy się oszacować poziom dokładności obliczeń za pomocą wzoru Riemanna-Liouville'a. Punktem odniesienia będzie inna znana metoda Grünwalda-Letnikova - bardzo popularna w zastosowaniach technicznych ze względu na swą prostotę. Zastosowane przekształcenia funkcji podcałkowej we wzorze Riemanna-Liouville'a są naszą propozycją redukcji wartości błędów bezwzględnych w zastosowaniach tej metody. Sprawdziliśmy także, jaką dokładność oferują zastosowane metody całkowania numerycznego: trzy kwadratury Gaussa oraz kwadratura Newtona-Cotesa. Kryterium stanowiła dokładność obliczeń pochodnych i całek niecałkowitych rzędów funkcji wykładniczej - często używanej w praktycznych, technicznych zastosowaniach. W niniejszym artykule nie podejmujemy tematu złożoności obliczeniowej, skupiamy się jedynie na zmniejszaniu wartości błędów bezwzględnych.

This paper presents methods of calculating numerically differ-integrals of non-integer orders. We evaluate the Riemann-Liouville formula in the context of the accuracy of the calculations. The point of reference is another popular formula - Grünwald-Letnikov - often used in technical applications because of its simplicity. By implementing transformations to the core integrand of the Riemann-Liouville formula we want to present the possible ways of reducing absolute errors while using this formula. We also test accuracy abilities of some methods of numerical integration: three Gauss quadratures and one Newton-Cotes formula. The test bed will be an interesting exponential function - often used in technical, practical applications. We will not discuss complexity of numerical calculations in details. We will focus solely on minimization of the absolute errors.