Badania korelacji między podstawowymi estymatorami parametru położenia dla serii obserwacji nieskorelowanych

W pracy przedstawiono wyniki badań korelacji pomiędzy wartością średnią, medianą oraz środkiem rozstępu nieskorelowanych wyników obserwacji o wybranych rozkładach prawdopodobieństwa: Laplace'a, normalnym, trójkątnym, trapezowym, jednostajnym oraz arksinusoidalnym. Stwierdzono, że istnieje silna korelacja pomiędzy wartością średnią a medianą, mediana i środek rozstępu są najmniej skorelowane, a korelacja pomiędzy średnią i środkiem rozstępu przyjmuje wartości pośrednie. Przy wzroście liczby obserwacji korelacja pomiędzy wartością średnią a medianą stabilizuje się, natomiast korelacja pomiędzy środkiem rozstępu i wartością średnią oraz medianą monotoniczne zmniejsza się.

The results of studies of the correlation between the main location parameter estimators (mean, median and midrange) of uncorrelated random observations are presented. Analytical calculations of the correlation coefficients are based on preliminary determination of the location parameter joint distributions. The joint distributions of the median and midrange are described by simplest formula (7), based on the distribution of order statistics (6). But analytical calculations of the joint distribution of other pairs of position parameters are very difficult and can only be realized by numerical procedures. Formulas (11) - (15) for determining the asymptotical values of all correlation coefficients for a large numbers of observations are presented. The main studies of the correlation coefficients for the number observation from n = 2 to n = 100 are realised by the Monte Carlo method. The results of simulation investigations are shown in Fig. 1. The median and mean are most correlated, and the asymptotical value of the correlation coefficient is equal to the inverse value of a form factor of the sample probability density function (PDF). The value of the correlation coefficient between the median and midrange does not practically depend on the type of PDF and decreases approximately proportionally to the square root of the number of observations (13, Fig. 1). The value of the correlation coefficient between the mean and midrange also decreases monotonically with an increase in the number of observations, but the rate of decrease depends on the amplitude factor of a sample (15, Fig. 1).