Implemented Semigroup for Infinite-Dimensional Lyapunov Equations

The main objective of the paper is to show that the concept of the implemented semigroup provides a natural mathematical framework for analysis of the infinite-dimensional Lyapunov equation (DLE). Such a Lyapunov equation arises quite naturally in various system-theoretic and control problems in which the time horizon is finite, the state space is infinite-dimensional and the operators involved in the mathematical model of the system are unbounded. As an application we show how this approach can be used to solve a simple decoupling problem arising in optimal control.

Głównym celem pracy jest pokazanie, że koncepcja półgrupy złożonej jest naturalnym narzędziem matematycznym do analizy nieskończenie wymiarowego różniczkowego równania Lapunowa. Tego typu równania występują w problemach sterowania ze skończonym horyzontem czasowym i modelem matematycznym zawierającym operatory nieograniczone. Podejście oparte na półgrupie złożonej pozwala wyprowadzić warunki konieczne i wystarczające ograniczoności rozwiąznia rózniczkowego równania Lapunowa w odpowiedniej przestrzeni. Jesteśmy przekonani, że półgrupa złożona może być użytecznym narzędziem matematycznym w nieskończenie wymiarowej teorii sterowania i systemów. Jako przykład zastosowania przedstawionej teorii w pracy pokazano rozwiązanie pewnego problemu rozprzęgania występujacego w zadaniach sterowania optymalnego.