Związek rekurencyjny oraz zależności i równanie różniczkowe dla wielomianów Legendre’a

W pracy przedstawiono związek rekurencyjny, zależności różniczkowe i równanie różniczkowe dla wielomianów Legendre’a. Celem rozważań było przeprowadzenie dowodów omawianych własności. Materiał i metody: Materiał stanowiły wybrane zależności rekurencyjne i równanie różniczkowe uzyskane z literatury przedmiotu. W przeprowadzonych dowodach zastosowano metodę dedukcji. Wyniki: Pokazano dowód twierdzenia o funkcji tworzącej dla wielomianów Legendre’a stosując metodę residuum funkcji. Przeprowadzono dowód związku rekurencyjnego, czterech zależności różniczkowych oraz równania różniczkowego dla wielomianów Legendre’a. Wnioski: Pochodną wielomianu Legendre’a wyrażoną przez wielomiany Legendre’a można określić z równania (1–z²)P^'_n(z) = nP_n-1(z) – nzP_n(z) dla n = 1, 2, … . Wielomian Legendre’a u=P_n(z) jest całką szczególną równania [(1-z²)u^']^'+n(n+1)u =0 dla n = 0, 1, 2,

Introduction and aim: The paper presents a recurrence formula, some differential compounds and differential equation for Legendre polynomials. The aim of the discussion was to give some proofs of presented dependences. Material and methods: Selected material based on a recurrence formula, some differential compounds and differential equation has been obtained from the right literature. In presented proofs of theorems was used a deduction method. Results: Has been shown some proof of the theorem of the generating function for Legendre polynomials by using the method of function residue. It has been done the proof of recurrence formula, some proofs of four differential compounds and differential equation for Legendre polynomials. Conclusions: Some derivative of Legendre polynomial expressed by Legendre polynomials can be determined from the equation (1–z²)P^'_n(z) = nP_n-1(z) – nzP_n(z) for n = 1, 2, … . Legendre polynomial u=P_n(z) is the particular integral solution of the equation [(1-z²)u^']^'+n(n+1)u =0 for n = 0, 1, 2, … .