Mathematical induction in proving of theorems about natural numbers divisibility Indukcja matematyczna w dowodzeniu twierdzeń o podzielności liczb naturalnych
Introduction and aims: This paper presents the concept of the division of mathematical
expressions with natural variable related to the problem of divisibility. The paper shows some
proofs of selected problem. The main aim of this paper is to show a few proofs of theorems about
divisibility of expressions by using the method of mathematical induction.
Material and methods: In this paper have been solved examples from different sources.
Considered problems contain: only polynomials, the sum of powers of different bases (and
constant as a component), the sum of the products of powers with different bases (and constant as
a component), the sum of the powers and polynomials, the sum of the products of powers and
polynomials, the sum containing the power of (-1), Fibonacci sequence, the expression containing
a power of the power and problems containing power in divider. In the paper has been used the
method of mathematical induction.
Results: It has been shown 16 proofs of problems by using mathematical induction. In some
examples have been used the additional lemmas which complete the main proof.
Conclusion: Using some properties of divisibility theorems and the theorem about mathematical
induction allow to show proofs which refer to the divisibility by natural number of various
mathematical expressions with natural variable n.
Wstęp i cele: W pracy przedstawiono koncepcję podziału wyrażeń matematycznych ze zmienną
naturalną odnoszących się do problemu podzielności a także przedstawiono dowody wybranych
zadań. Głównym celem pracy jest pokazanie sposobu dowodzenia twierdzeń o podzielności wyrażeń
przy zastosowaniu metody indukcji matematycznej.
Materiał i metody: W pracy rozwiązano przykłady z różnych źródeł. Rozważono zadania zawierające:
tylko wielomiany, sumy potęg o różnych podstawach (i stałą w roli składnika), sumy iloczynów
potęg o różnych podstawach (i stałą w roli składnika), sumy potęg i wielomianów, sumy iloczynów
potęg i wielomianów, sumy zawierające potęgę (-1), ciąg Fibonacciego, wyrażenia zawierające
potęgę potęgi oraz zadania zawierające potęgę w dzielniku. Zastosowano metodę indukcji
matematycznej.
Wyniki: Przeprowadzono dowody 16 przykładów przy użyciu indukcji matematycznej. W niektórych
przykładach zastosowano dodatkowo dowody lematów, które uzupełniają całość dowodu
głównego.
Wniosek: Korzystanie z pewnych właściwości twierdzeń o podzielności i twierdzenia o indukcji
matematycznej pozwala pokazać dowody, które odnoszą się do podzielności przez liczby naturalne
różnych wyrażeń matematycznych ze zmienną naturalną.
Ta witryna wykorzystuje pliki cookies do przechowywania informacji na Twoim komputerze. Pliki cookies stosujemy w celu świadczenia usług na najwyższym poziomie, w tym w sposób dostosowany do indywidualnych potrzeb. Korzystanie z witryny bez zmiany ustawień dotyczących cookies oznacza, że będą one zamieszczane w Twoim komputerze. W każdym momencie możesz dokonać zmiany ustawień dotyczących cookies
Informacja
SZANOWNI CZYTELNICY!
UPRZEJMIE INFORMUJEMY, ŻE BIBLIOTEKA FUNKCJONUJE W NASTĘPUJĄCYCH GODZINACH:
Wypożyczalnia i Czytelnia Główna: poniedziałek – piątek od 9.00 do 19.00