Symboles des restes quadratiques des discriminants dans les extensions modérément ramifiées

1. Introduction. Soit L un corps de nombres de degré n sur le corps ℚ des nombres rationnels de discriminant $D = D_{L/ℚ}$. Si l'entier D n'est pas un carré, on note d le discriminant du corps quadratique ℚ(√D), sinon on pose d=1. Soit p un nombre premier non-ramifié dans L de sorte que le symbole des restes quadratiques (D/p) soit non-nul. Un théorème déjà ancien dû à A. Pellet ([3, page 245]), L. Stickelberger et G. Voronoï montre que la parité du nombre g d'idéaux premiers de L au-dessus de p est déterminée par ce symbole (D/p). En effet, nous avons $(D/p) = (-1)^{n-g}$.
Plus généralement, même si p est ramifié dans L, on aimerait pouvoir relier le symbole (d/p) à la décomposition $(p) = P₁^{e₁} ... P_g^{e_g}$ de p en produit d'idéaux premiers $P_i$ de L.
Supposons que p n'est pas sauvagement ramifié dans L. Si $f_i$ désigne le degré résiduel de $P_i$ dans l'extension L/ℚ, alors la valuation p-adique du discriminant D est donnée par $v_p(D) = ∑_{i=1}^{g} (e_i - 1)f_i$ [9, Chap. 3, Prop. 13]. Donc le symbole (d/p) est non-nul dès que tous les indices de ramification $e_i$ sont impairs. Dans ce dernier cas, généralisant une série de résultats (Wahlin [10], Hasse [5], Buhler [2], Dribin [4], Kientega [6],...), P. Barrucand et F. Laubie ont établi la formule suivante (également valable dans le cas relatif) [1]:
(d/p) = (-1)^F (p/E) avec E = ∏_{2∤{f_i}} e_i et F = ∑_{2|f_i}1.
Notre but est de donner une formule analogue sans aucune hypothèse sur la parité des indices de ramification $e_i$. Cet article s'inscrit donc comme une suite logique de [1] et en est largement inspiré.