The conic of centers S2 of a pencil P2 1=2=3,4

The E-transformation is quadratic in the projective 2-dimensional space and based on the circle n2 and the center W, which lies on the circle n2 . In the E-transformation to the straight line a’ corresponds a conic a2. The elation has been defined, where a’ is a vanishing line, the line ta parallel to a’ and passing through the point W is the axis of elation. All lines that do not pass through the center of the transformation W will correspond to osculary conics passing through the three points 1=2=3 coinciding with the center W. The centers of these conics make also a conic of centers s2. Special cases are distinguished dependent on whether the base quadrangle 1=2=3,4 is concave or convex. The case with point 4 lying at infinity has been discussed. Two theorems have been formulated and proved.

Praca jest kontynuacją artykułu „Pęki stożkowych nadściśle stycznych (P2 1=2=3,4)” ([6]), w której omówiono przekształcenie kwadratowe „E”, dla którego bazą jest okrąg n2, natomiast środkiem przekształcenia jest punkt W leżący na okręgu n2. Stwierdzono, że wszystkie proste, które nie przechodzą przez punkt W, przekształcają się w stożkowe wzajemnie ściśle styczne czyli przechodzące przez trzy punkty 1=2=3 pokrywające się z punktem W. Środki poszczególnych stożkowych pęku leżą na stożkowej, którą nazwano stożkowa środków i oznaczono s2. W pracy omówiono trzy przypadki, w których w zależności od czworokąta podstawowego 1=2=3,4 stożkowa środków s2 jest hiperbolą, elipsą, parabolą. Przedstawiono również twierdzenie, z którego wynika, iż mając zadaną stożkową środków s2 można wyznaczyć bazę n2 przekształcenia „E” oraz wyznaczyć średnice sprzężone lub asymptoty poszczególnych stożkowych pęku P2 1=2=3,4. W pracy pokazano, że pęk stożkowych P2 1=2=3,4, którego elementami są stożkowe a2, b2, c2,…. jest rzutowy do szeregu punktów rzędu drugiego, którego podstawą jest „stożkowa środków” s2, a elementami są punkty Sa, Sb, Sc, ... będące środkami stożkowych a2, b2, c2,…..