O pewnym przekształceniu płaszczyzny

Praca jest kontynuacją badań autora nad stożkowymi będącymi zbiorami środków sfer przechodzących przez dwa różne lub jednoczące się punkty i równocześnie stycznych do prostej, płaszczyzny bądź sfery. W prezentowanym obecnie artykule zdefiniowano przekształcenie oraz podano jego podstawowe właściwości. Na płaszczyźnie rzutowej obrano dwa różne punkty Μ i W, z których tylko punkt W może być również punktem niewłaściwym. Przy tych założeniach za obraz dowolnego punktu właściwego X płaszczyzny przyjmuje się punkt ¹X, W którym symetralna odcinka MV przecina prostą WX. Wykazano m.in., że obrazem każdej prostej nie zawierającej punktów Μ i W jest krzywa stopnia trzeciego, a okręgu w położeniu ogólnym krzywa stopnia czwartego. Jeżeli środkiem okręgu jest punkt W, a jego promień R > WM/R < WM, to obrazem takiego okręgu w tym przekształceniu jest elipsa /hiperbola (stożkowa „obwiednią” jednoczy się ze stożkową „miejscem"), tak więc uzyskane wyniki badań potwierdzają udowodnione wcześniej przez autora twierdzenie orzekające, że punkt i okrąg/prosta nie przechodzący (a) przez ten punkt w sposób jednoznaczny określają niezdegenerowaną stożkową, dla której dany punkt i środek okręgu są ogniskami/ogniskiem.

The paper presents research on features of a certain transformation of a plane which can originate from an article [4]. where conics are regarded as sets of sphere centers, passing through two different or united points and are at the same time tangent to a line, plane or sphere. A theorem has been proved that a point and a circle/line, which do not include that point, determine univocally a nondegenerated conic and an algorithm of that construction has been given. From this way of determination of current points. which is the same for each nondegenerated conic determined by a constant point and a constant circle/line, a definition of a transformation is derived. The maximum set which is taken into consideration is a projective plane.