Analiza drgań poprzecznych smukłej kolumny o zmiennym przekroju poprzecznym przy obciążeniu uogólnionym z siłą skierowaną do bieguna dodatniego

W pracy zawarto wyniki rozważań teoretycznych oraz analizę numeryczną zagadnienia drgań swobodnych smukłego układu o zmiennym przekroju poprzecznym poddanego działaniu wybranego przypadku obciążenia swoistego. Analizowane obciążenie uogólnione z siłą skierowaną do bieguna dodatniego realizowane jest poprzez strukturę zbudowaną z głowic z zarysie kołowym: wywołującą i przejmującą obciążenie. W celu zamodelowania niepryzmatyczności kolumny, układ podzielono na n pryzmatycznych segmentów o równej długości i grubości oraz zmiennej szerokości opisanej za pomocą funkcji liniowej oraz wielomianu drugiego stopnia, przy zachowaniu warunku stałej objętości sumarycznej. W oparciu o model fizyczny układu zdefiniowano zależności określające energię mechaniczną struktury. Problem sformułowano na podstawie zasady Hamiltona (metoda drgań, kinetyczne kryterium utraty stateczności). Biorąc pod uwagę geometryczne warunki brzegowe oraz geometryczne warunki ciągłości wyznaczono różniczkowe równania ruchu poszczególnych segmentów kolumny oraz brakujące do opisu układu naturalne warunki brzegowe i naturalne warunki ciągłości. W oparciu o tak zdefiniowany model matematyczny opracowano autorskie algorytmy obliczeniowe umożliwiające badania numeryczne drgań poprzecznych układu. W ramach przeprowadzonych obliczeń określono zakres zmian częstości drgań własnych w funkcji obciążenia zewnętrznego. Dyskusji poddano wpływ zmiennych parametrów geometrycznych kolumny na wartość częstości drgań oraz typ układu, uwzględniając parametry określające kształt kolumny oraz geometrię struktury realizującej obciążenie.

The results of the theoretical considerations and numerical analysis of the issue of the free vibration of the slender system of the variable cross-section under selected case of the specific load were included in this work. Analyzed generalized load with a force directed towards the positive pole is realized by the structure built of heads of the circular outlines: loading and receiving heads. In order to model the variable cross-section of the column, the system was divided into n prismatic segments of the equal length and thickness and the variable width described by the linear function and the polynomial of degree 2, fulfilling the condition of the constant total volume. On the basis of the physical model of the system, the mechanical energy of the structure was defined. The issue of the free vibration was formulated taking into account the Hamilton’s principle (energetic method, kinetic criterion of the stability loss). Taking into consideration the geometric boundary conditions and the geometric continuity conditions, the differential equations of motion of particular segments of the column as well as the natural boundary condition and the natural continuity conditions were determined. On the basis of so-defined mathematical model, the computation algorithms enabling numerical examination of the transverse vibration of the column were developed. Within the scope of the carried-out calculations, the range of the changes in the frequency of the free vibration as a function of the external load was determined. An influence of the variable geometric parameters of the column on the value of the natural frequency and the type of the system was discussed, including the parameters describing the shape of the column as well as the geometry of the loading structure.