The height of a face in a 3-polytope is the maximum degree of its incident vertices, and the height of a 3-polytope, h, is the minimum height of its faces. A face is pyramidal if it is either a 4-face incident with three 3-vertices, or a 3-face incident with two vertices of degree at most 4. If pyramidal faces are allowed, then h can be arbitrarily large, so we assume the absence of pyramidal faces in what follows.
In 1940, Lebesgue proved that every quadrangulated 3-polytope has h ≤ 11. In 1995, this bound was lowered by Avgustinovich and Borodin to 10. Recently, Borodin and Ivanova improved it to the sharp bound 8.
For plane triangulation without 4-vertices, Borodin (1992), confirming the Kotzig conjecture of 1979, proved that h ≤ 20, which bound is sharp. Later, Borodin (1998) proved that h ≤ 20 for all triangulated 3-polytopes. In 1996, Horňák and Jendrol’ proved for arbitrarily polytopes that h ≤ 23. Recently, Borodin and Ivanova obtained the sharp bounds 10 for trianglefree polytopes and 20 for arbitrary polytopes.
In this paper we prove that any polytope has a face of degree at most 10 with height at most 20, where 10 and 20 are sharp.
Ta witryna wykorzystuje pliki cookies do przechowywania informacji na Twoim komputerze. Pliki cookies stosujemy w celu świadczenia usług na najwyższym poziomie, w tym w sposób dostosowany do indywidualnych potrzeb. Korzystanie z witryny bez zmiany ustawień dotyczących cookies oznacza, że będą one zamieszczane w Twoim komputerze. W każdym momencie możesz dokonać zmiany ustawień dotyczących cookies
Informacja
SZANOWNI CZYTELNICY!
UPRZEJMIE INFORMUJEMY, ŻE BIBLIOTEKA FUNKCJONUJE W NASTĘPUJĄCYCH GODZINACH:
Wypożyczalnia i Czytelnia Główna: poniedziałek – piątek od 9.00 do 19.00