Generalized multiresolution discrete orthogonal transforms

This paper presents an idea of the multiresolution discrete orthogonal transforms. One possible approach to realization of this multiresolution transform is implementation of the rationalized algorithm for computing the coefficients creating the consecutive resolution levels. The paper also presents an example of synthesis of the fast algorithm for computing the coefficients of the multiresolution discrete Hartley transform. For the description of the compuatational procedures we use a vector-matrix notation.

W artykule przedstawiono uogólnioną wielorozdzielczą dyskretną transformację ortogonalną. Zdefiniowana w niniejszej pracy transformacja pozwala na analizę sygnału na wielu poziomach rozdzielczości. Poziomy te są stanowione poprzez współczynniki częstotliwościowe uzyskiwane w procesie realizacji szybkich dyskretnych transformat ortogonalnych np. dyskretnej transformaty Fouriera (DFT), dyskretnej transformaty kosinusowej (DCT), dyskretnej transformaty Hartley’a, czy też dyskretnej transformaty slant, w odniesieniu do kolejnych fragmentów badanego sygnału. Przedstawiony w niniejszym artykule schemat postępowania jest słuszny dla sygnałów o liczbie próbek będącej naturalną potęgą liczby dwa. Zastosowanie szybkich algorytmów realizacji poszczególnych przekształceń na kolejnych poziomach rozdzielczości, pozwala na uzyskanie znaczącej redukcji liczby wykonywanych działań arytmetycznych, w porównaniu do metody polegającej na bezpośrednim mnożeniu macierzy bazy i wektora kolumnowego danych wejściowych. W przedłożonej pracy, do opisu poszczególnych procedur obliczeniowych posłużono się rachunkiem wektorowo-macierzowym, który jest adekwatny do opisu przestrzenno-czasowych struktur procesów obliczeniowych, jak również umożliwia w sposób bezpośredni odwzorowanie tychże struktur w przestrzeni realizacji programowych i sprzętowych. W artykule zaprezentowano również przykład syntezy szybkiego algorytmu realizacji wielorozdzielczej dyskretnej transformaty Hartley’a dla sygnału jednowymiarowego o liczbie próbek wynoszącej osiem.