Empirical tests of performance of some M – estimators

The paper presents an empirical comparison of performance of three well known M – estimators (i.e. Huber, Tukey and Hampel’s M – estimators) and also some new ones. The new M – estimators were motivated by weighting functions applied in orthogonal polynomials theory, kernel density estimation as well as one derived from Wigner semicircle probability distribution. M – estimators were used to detect outlying observations in contaminated datasets. Calculations were performed using iteratively reweighted least-squares (IRLS). Since the residual variance (used in covariance matrices construction) is not a robust measure of scale the tests employed also robust measures i.e. interquartile range and normalized median absolute deviation. The methods were tested on a simple leveling network in a large number of variants showing bad and good sides of M – estimation. The new M – estimators have been equipped with theoretical tubing constants to obtain 95% efficiency with respect to the standard normal distribution. The need for data – dependent tuning constants rather than those established theoretically is also pointed out.

W artykule przedstawiono empiryczne porównanie trzech dobrze znanych M – estymatorów (Huber’a, Tukey’a oraz Hampel’a) jak również kilku nowych. Nowe estymatory motywowane były funkcjami wagowymi wykorzystywanymi w teorii wielomianów ortogonalnych, estymacji jądrowej oraz jeden motywowany przez funkcję gęstości „półokręgu” Wigner’a. Każdy z estymatorów został użyty do wykrywania obserwacji odstających w skażonych zbiorach danych. Obliczenia wykonano za pomocą „reważonej” metody najmniejszych kwadratów. Ze względu na fakt, iż wariancja resztowa (używana w konstrukcji macierzy kowariancyjnych) nie jest odpornym estymatorem skali, w testach wykorzystano również odporne miary takie jak: rozstęp ćwiartkowy oraz znormalizowane odchylenie medianowe. Testy wykonano na prostej sieci niwelacyjnej w dużej ilości wariantów ukazujących dobre i złe strony M – estymacji. Nowe estymatory zostały wyposażone w teoretyczne stałe odcinania zapewniające 95% efektywność względem standaryzowanego rozkładu normalnego. Kwestia rozwijania metod bazujących na stałych odcinania pochodzących z danych została również pokrótce poruszona.